計算電磁學(xué)的統(tǒng)一視角

逍遙設(shè)計自動化

引言
計算電磁學(xué)(CEM)已成為分析和設(shè)計各種電磁系統(tǒng)的不可或缺工具，應(yīng)用范圍從天線和微波線路到無線通信和雷達(dá)系統(tǒng)。本文提供了CEM不同數(shù)值方法的基本原理的統(tǒng)一視角，強調(diào)了它們共同的數(shù)學(xué)框架和關(guān)系[1]。
# P/ }# x" o8 N& S9 D
9 f, j3 u: P8 G+ u6 X+ V% z; i. j加權(quán)殘差法：統(tǒng)一框架
% F, _: x' m, q+ P* G) h" N5 u! `7 A大多數(shù)CEM技術(shù)的核心是加權(quán)殘差法(MWR)，允許我們通過將復(fù)雜電磁問題的解投影到簡單的基函數(shù)上來近似求解。MWR過程包括兩個關(guān)鍵步驟：

展開：未知解被近似為已知基函數(shù)的加權(quán)和。

殘差最小化：通過強制近似解與精確解之間的誤差(殘差)與一組權(quán)重函數(shù)正交來最小化誤差。
[/ol]
數(shù)學(xué)上，可以將這個過程表示如下：
! @8 _- B8 i. ^2 d
考慮形式為以下的算子方程：
# N6 {" B5 v+ l- G  q
6 a9 g6 o3 n# L9 K" e9 oLu(r, t) - g(r, t) = 0
. F$ k" _( c1 n; r5 D- v
, b8 ?; S( [6 \, L( @& S  j% g其中L是微分或積分算子，u(r, t)是未知解，g(r, t)是已知源項。
8 \$ j4 A9 [. m% I" t% {/ _8 h
0 [" B: L, V: t+ [' J! a6 p我們將解近似為：
  ]- N% a" B3 j# P# d, o7 t
u(r, t) ≈ ?(r, t) = Σ(n=1 to N) an φn(r, t)
7 |" Q. [) Y/ C6 T0 j4 T+ o: T1 @7 f
其中φn是基函數(shù)，an是未知系數(shù)。
% T, o1 Z# E1 S( B: k7 k$ p
' K" I; u3 |4 K) W" h" b$ |然后殘差誤差為：

R(r, t) = L?(r, t) - g(r, t)

1 \5 S; G/ r" |: F3 V( o1 V0 T  T; I我們通過設(shè)置以下條件來最小化這個誤差：

+ [6 S1 S1 f) M7 ^ = 0
# Z( T# q% j: r- L9 w
其中w_m是權(quán)重函數(shù)，表示內(nèi)積。
) g0 h% h5 a* i
' `2 P3 ]% \1 n2 ]  b# r* N" k9 ^這個過程導(dǎo)致一個可以求解未知系數(shù)an的方程組。

- R- ]6 K+ h: s) L) t+ x$ o! U圖1：Rooftop基函數(shù)(a)和由這些基函數(shù)求和形成的近似解(b)的圖示。

內(nèi)積空間和收斂性
2 b! o) w9 d5 l7 mMWR框架重度依賴于內(nèi)積空間的概念。這些是具有滿足某些性質(zhì)（如線性和正定性）的內(nèi)積運算的函數(shù)空間。內(nèi)積的選擇可以顯著影響數(shù)值方法的性能和穩(wěn)定性。
  U6 g8 u- R# y
2 d+ L( p9 v0 A& @任何CEM技術(shù)的一個關(guān)鍵考慮因素是收斂性 - 隨著我們增加基函數(shù)的數(shù)量，我們的近似解接近精確解的程度如何？雖然證明一般情況下的收斂性可能具有挑戰(zhàn)性，但我們通常可以推導(dǎo)出在實踐中用于檢查收斂性的特定條件。
: u8 u8 M( B) ^
  ~5 g/ z4 [# q+ }, r收斂的一個必要條件是展開系數(shù)an必須有界：
- T& V; C; [, J6 H: \
, j& e4 g" S2 J8 y7 t3 B|an|

頻域方法
許多CEM技術(shù)在頻域中操作，求解時諧麥克斯韋方程。一些流行的頻域方法包括：

% e; Z" e6 ^" A$ ?% l6 \7 @' ^1. 有限差分法
有限差分法使用離散差分方程近似導(dǎo)數(shù)。在MWR框架中，這可以被視為使用Rooftop函數(shù)作為基函數(shù)和狄拉克δ函數(shù)作為權(quán)重函數(shù)。


- J; j" G4 z9 `/ Q8 G! C/ z圖2：Rooftop基函數(shù)導(dǎo)數(shù)(a)和試驗函數(shù)導(dǎo)數(shù)(b)的圖示。

3 R; \$ P. t- Y8 F$ z2. 有限元法(FEM)
FEM將問題域劃分為小元素，通常是三角形或四面體。在每個元素內(nèi)，解使用形狀函數(shù)近似。FEM的MWR公式通常使用這些相同的形狀函數(shù)作為基函數(shù)和權(quán)重函數(shù)（伽遼金方法）。

& u# q! Q4 t$ ]5 O圖3：有限元法中二維域劃分為三角形元素的示意圖。

3. 矩量法(MoM)
MoM特別適合求解積分方程，使用一組基函數(shù)來展開未知量（通常是電流密度）和一組權(quán)重函數(shù)來強制邊界條件。

4. 積分方程法
這些方法使用麥克斯韋方程的積分形式來求解場量或電流/電荷分布，對于開放邊界問題特別有用。

4 w9 \7 t8 L) K8 y" i2 U/ o
; B+ ]! ^7 w- ^4 e5 w圖4：帶有單位電勢的帶電帶狀體示例，經(jīng)常用于說明積分方程方法。

5. 譜域方法
這種技術(shù)在空間頻率域中求解電磁問題，使其特別適合于平面結(jié)構(gòu)，如微帶線。

$ j0 q/ s( L% r) x" m6. 無網(wǎng)格方法
與傳統(tǒng)的基于網(wǎng)格的方法不同，無網(wǎng)格方法使用一組散布的節(jié)點來表示問題域。基函數(shù)與這些節(jié)點相關(guān)聯(lián)，而不是與固定網(wǎng)格相關(guān)聯(lián)。
8 k$ B- |8 C9 f/ z5 t
2 u" h+ u1 I. i# ~% x% u. i
圖5：無網(wǎng)格方法中使用的支持域和周圍節(jié)點的圖示。
& c* e( P$ y- n
時域方法
頻域方法很強大，但許多問題更自然地在時域中求解。時域技術(shù)直接模擬電磁場的時間演化。一些關(guān)鍵的時域方法包括：

+ _. R" Y0 r$ w" `1. 有限差分時域(FDTD)方法
FDTD同時離散化空間和時間，使用中心差分近似麥克斯韋方程中的空間和時間導(dǎo)數(shù)�？梢酝ㄟ^在空間和時間中使用脈沖函數(shù)從MWR框架推導(dǎo)出來。
: z' o3 ^2 W/ m7 L9 O; u
2. 傳輸線矩陣(TLM)方法
/ U1 l6 ^" a- u, ~' I, V# DTLM使用與傳輸線的類比來模擬波傳播。將空間離散化為傳輸線段網(wǎng)絡(luò)，通過跟蹤在這個網(wǎng)絡(luò)中傳播的電壓脈沖來模擬波傳播。

; o; h8 ~1 {: l. M/ I2 {* D
圖6：(a) 2D和(b) 3D傳輸線矩陣(TLM)模型的圖示。
! z- l7 t; I+ n9 a
. @) U" g# t. C2 E% ~3. 時域有限元法(TD-FEM)
. L0 d7 C+ Q0 r- F  u# UTD-FEM結(jié)合了FEM的空間離散化和時間步進(jìn)方案來求解時變麥克斯韋方程。
* v5 e# A8 |8 f7 z: c- q
/ Y* T  F6 x& ?( Q4. 時域積分方程(TDIE)方法
這些方法求解積分方程的時域版本，通常使用時間步進(jìn)(MOT)方案在離散時間步驟中推進(jìn)解。

5. 時域無網(wǎng)格方法
1 e2 a( ^1 R3 g- l( C' P無網(wǎng)格方法也可以擴展到時域問題，在節(jié)點放置上提供靈活性，無需結(jié)構(gòu)化網(wǎng)格。

9 f( b6 ^5 Y% Z+ L' E  s. Q統(tǒng)一視角和關(guān)系
& ^" P* Y( J5 r: f通過MWR的視角來看待所有這些方法，我們可以理解它們的相似性和差異：

基函數(shù)和權(quán)重函數(shù)的選擇在很大程度上決定了每種方法的特性。

頻域和時域方法通常密切相關(guān)，時域方法本質(zhì)上是在每個時間步長求解一系列頻域問題。

許多方法可以被視為更一般方法的特殊情況。例如，F(xiàn)EM和有限差分方法可以通過特定的節(jié)點排列和基函數(shù)推導(dǎo)為無網(wǎng)格方法的特殊情況。
- x& ~5 U; T2 I/ ^1 z% h
% {8 b/ n  Q# ^1 r% x  n7 H

圖7：圖示展示了基于節(jié)點的無網(wǎng)格方法如何通過特定的節(jié)點排列演變成有限元方法（中）和有限差分方法（下）。

數(shù)值色散和誤差分析
任何CEM技術(shù)的一個關(guān)鍵方面是理解其準(zhǔn)確性和限制。一個常見的問題是數(shù)值色散，其中模擬的波傳播特性與真實物理行為不同。這可以通過檢查方法在譜域中的色散關(guān)系來分析。
: x$ Z& u3 ~0 C1 Q, k9 W0 n3 i: F, K9 p: x
, x& G8 b2 g0 _0 A; S3 P( c. y, d例如，F(xiàn)DTD方法具有以下數(shù)值色散關(guān)系：

2 O/ x& L0 M# N. R: b[sin(kx Δx/2)/Δx]^2 + [sin(ky Δy/2)/Δy]^2 + [sin(kz Δz/2)/Δz]^2 = [sin(ωΔt/2)/(cΔt)]^2
3 e: Z8 k- c3 T" O; y, _9 |+ Q
其中kx、ky、kz是波數(shù)，Δx、Δy、Δz是空間離散化步長，Δt是時間步長，c是光速。

隨著離散化變得更細(xì)，這個關(guān)系接近連續(xù)電磁學(xué)的理想球面色散關(guān)系，但對于較粗的網(wǎng)格會偏離。

結(jié)論
本文提出的計算電磁學(xué)統(tǒng)一視角，以加權(quán)殘差法為中心，為理解和開發(fā)數(shù)值技術(shù)提供了強大的框架。通過認(rèn)識各種方法的共同數(shù)學(xué)基礎(chǔ)，研究人員和工程師可以：

根據(jù)給定問題的特性和要求選擇最合適的方法。

開發(fā)結(jié)合不同方法優(yōu)點的混合技術(shù)。

分析和改進(jìn)數(shù)值算法的準(zhǔn)確性、穩(wěn)定性和效率。

探索新的公式和基函數(shù)來解決具有挑戰(zhàn)性的電磁問題。
1 V1 ?# \1 U  q  |6 L0 B/ ~. q- H[/ol]
隨著計算電磁學(xué)領(lǐng)域的不斷發(fā)展，這種統(tǒng)一的視角對于推動電磁仿真和設(shè)計的可能性邊界將是很重要的。未來的研究方向可能包括：
8 g* j! ^" H4 ~  z, @

開發(fā)針對特定問題類型的更高效基函數(shù)。

探索機器學(xué)習(xí)技術(shù)來增強傳統(tǒng)CEM方法。

推進(jìn)將電磁學(xué)與其他物理現(xiàn)象耦合的多物理場仿真。

改進(jìn)并行計算策略以處理更大、更復(fù)雜的系統(tǒng)。
0 l6 l) _8 v5 J/ d" j+ k4 ]1 f6 q
6 H; q5 q7 y) H& |9 W" U通過理解統(tǒng)一各種CEM技術(shù)的基本原理，研究人員和從業(yè)者可以繼續(xù)創(chuàng)新并擴展電磁建模和仿真的能力。
; i& C+ L. g# ]+ _. K* R
參考文獻(xiàn)
[1] Z. Chen, C. Wang and W. J. R. Hoefer, "A Unified View of Computational Electromagnetics," in IEEE Transactions on Microwave Theory and Techniques, vol. 70, no. 2, pp. 955-969, Feb. 2022, doi: 10.1109/TMTT.2021.3138911.

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( z* d' c6 X" m/ O深圳逍遙科技有限公司（Latitude Design Automation Inc.）是一家專注于半導(dǎo)體芯片設(shè)計自動化（EDA）的高科技軟件公司。我們自主開發(fā)特色工藝芯片設(shè)計和仿真軟件，提供成熟的設(shè)計解決方案如PIC Studio、MEMS Studio和Meta Studio，分別針對光電芯片、微機電系統(tǒng)、超透鏡的設(shè)計與仿真。我們提供特色工藝的半導(dǎo)體芯片集成電路版圖、IP和PDK工程服務(wù)，廣泛服務(wù)于光通訊、光計算、光量子通信和微納光子器件領(lǐng)域的頭部客戶。逍遙科技與國內(nèi)外晶圓代工廠及硅光/MEMS中試線合作，推動特色工藝半導(dǎo)體產(chǎn)業(yè)鏈發(fā)展，致力于為客戶提供前沿技術(shù)與服務(wù)。

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