計(jì)算電磁學(xué)的統(tǒng)一視角

逍遙設(shè)計(jì)自動化

引言
計(jì)算電磁學(xué)(CEM)已成為分析和設(shè)計(jì)各種電磁系統(tǒng)的不可或缺工具，應(yīng)用范圍從天線和微波線路到無線通信和雷達(dá)系統(tǒng)。本文提供了CEM不同數(shù)值方法的基本原理的統(tǒng)一視角，強(qiáng)調(diào)了它們共同的數(shù)學(xué)框架和關(guān)系[1]。
7 M% u( q: C0 t  @) _6 }( {
加權(quán)殘差法：統(tǒng)一框架
' g8 Z+ F: m5 ]大多數(shù)CEM技術(shù)的核心是加權(quán)殘差法(MWR)，允許我們通過將復(fù)雜電磁問題的解投影到簡單的基函數(shù)上來近似求解。MWR過程包括兩個(gè)關(guān)鍵步驟：

展開：未知解被近似為已知基函數(shù)的加權(quán)和。

殘差最小化：通過強(qiáng)制近似解與精確解之間的誤差(殘差)與一組權(quán)重函數(shù)正交來最小化誤差。
[/ol]
數(shù)學(xué)上，可以將這個(gè)過程表示如下：
6 O& J; B) Y/ N2 p/ D2 b% O/ Z) H; }
考慮形式為以下的算子方程：
" [) \' k. b+ I- m. m# G: [$ V
Lu(r, t) - g(r, t) = 0
' Q7 w7 d6 ]0 J2 M6 Q
/ b; y) |4 ]  z4 }其中L是微分或積分算子，u(r, t)是未知解，g(r, t)是已知源項(xiàng)。
  F3 V' s- I- l& k7 k, Q
我們將解近似為：
- u; Z1 B3 a7 ^
. Z7 p+ t3 j, f0 i' Au(r, t) ≈ ?(r, t) = Σ(n=1 to N) an φn(r, t)
9 ]; n2 W! a8 A0 }
: d, K# K& X. V4 q其中φn是基函數(shù)，an是未知系數(shù)。
. q" ]# x9 ~7 R" c
; ]0 x2 m4 P# J然后殘差誤差為：
; q6 t% g& b9 R, T1 R* G& H
: v+ |- N9 z* w0 g6 C3 bR(r, t) = L?(r, t) - g(r, t)

2 J! Q& R# a3 {& T* r& `* b我們通過設(shè)置以下條件來最小化這個(gè)誤差：

* u0 h; F0 s$ A4 \- m = 0
& H' v0 ?& b9 B* v# D9 h
其中w_m是權(quán)重函數(shù)，表示內(nèi)積。
. x: W5 [6 z% t
! ?5 _; |: u1 x# ]# d這個(gè)過程導(dǎo)致一個(gè)可以求解未知系數(shù)an的方程組。
+ M5 ]: X) L( k6 c
* I7 }9 `' B- R; L; s5 }圖1：Rooftop基函數(shù)(a)和由這些基函數(shù)求和形成的近似解(b)的圖示。

內(nèi)積空間和收斂性
9 P" J6 @( o/ [1 G8 h" VMWR框架重度依賴于內(nèi)積空間的概念。這些是具有滿足某些性質(zhì)（如線性和正定性）的內(nèi)積運(yùn)算的函數(shù)空間。內(nèi)積的選擇可以顯著影響數(shù)值方法的性能和穩(wěn)定性。

任何CEM技術(shù)的一個(gè)關(guān)鍵考慮因素是收斂性 - 隨著我們增加基函數(shù)的數(shù)量，我們的近似解接近精確解的程度如何？雖然證明一般情況下的收斂性可能具有挑戰(zhàn)性，但我們通�？梢酝茖�(dǎo)出在實(shí)踐中用于檢查收斂性的特定條件。
/ x: `' r! n( n+ L
! t8 I8 V: s0 Z收斂的一個(gè)必要條件是展開系數(shù)an必須有界：

7 c! d/ u# O+ Y8 x$ H& \|an|
) F, [8 B* K0 o+ p) A# g) J
: F4 n7 J' O# f% I: d$ g頻域方法
許多CEM技術(shù)在頻域中操作，求解時(shí)諧麥克斯韋方程。一些流行的頻域方法包括：
$ |2 g8 A* u( }
+ `/ E! {! z; o. d  t1. 有限差分法
有限差分法使用離散差分方程近似導(dǎo)數(shù)。在MWR框架中，這可以被視為使用Rooftop函數(shù)作為基函數(shù)和狄拉克δ函數(shù)作為權(quán)重函數(shù)。
0 c( a+ b* h  W% H

' z- f: X: b) W  f7 }# `( r圖2：Rooftop基函數(shù)導(dǎo)數(shù)(a)和試驗(yàn)函數(shù)導(dǎo)數(shù)(b)的圖示。

2. 有限元法(FEM)
# p+ i7 G# j5 N0 w  O( l6 FFEM將問題域劃分為小元素，通常是三角形或四面體。在每個(gè)元素內(nèi)，解使用形狀函數(shù)近似。FEM的MWR公式通常使用這些相同的形狀函數(shù)作為基函數(shù)和權(quán)重函數(shù)（伽遼金方法）。

, i- X' a: ^& a1 G5 ]+ U圖3：有限元法中二維域劃分為三角形元素的示意圖。

9 J( x8 @3 ]% G# e8 n+ o4 b+ C. e3. 矩量法(MoM)
! B% U9 {+ I+ G1 {1 n6 V! L+ v$ BMoM特別適合求解積分方程，使用一組基函數(shù)來展開未知量（通常是電流密度）和一組權(quán)重函數(shù)來強(qiáng)制邊界條件。

4. 積分方程法
這些方法使用麥克斯韋方程的積分形式來求解場量或電流/電荷分布，對于開放邊界問題特別有用。
$ S/ a& `0 X- V" ^
' `4 z! c# n0 r
! V' d, P9 V! W1 l. ~# \( c, Z0 p圖4：帶有單位電勢的帶電帶狀體示例，經(jīng)常用于說明積分方程方法。

2 X3 v1 q- F3 ?& m- A) c4 m3 c) F5. 譜域方法
5 B  }* n1 _& b  n2 A這種技術(shù)在空間頻率域中求解電磁問題，使其特別適合于平面結(jié)構(gòu)，如微帶線。
( X' q4 h% c. i
6. 無網(wǎng)格方法
( ^& k6 r2 w: g; F9 [: Q# G與傳統(tǒng)的基于網(wǎng)格的方法不同，無網(wǎng)格方法使用一組散布的節(jié)點(diǎn)來表示問題域�；�函數(shù)與這些節(jié)點(diǎn)相關(guān)聯(lián)，而不是與固定網(wǎng)格相關(guān)聯(lián)。
5 V7 p) \: }3 ?$ G% E4 d0 d; R
* L- I6 V6 O! b6 h2 v0 d
圖5：無網(wǎng)格方法中使用的支持域和周圍節(jié)點(diǎn)的圖示。

1 F6 b8 U. X' [1 n$ T& @  B時(shí)域方法
! ]$ X* j2 Z+ a7 }# \3 X頻域方法很強(qiáng)大，但許多問題更自然地在時(shí)域中求解。時(shí)域技術(shù)直接模擬電磁場的時(shí)間演化。一些關(guān)鍵的時(shí)域方法包括：
: M: v6 K# I; m! s6 P1 m7 d
6 }3 n4 k( \, q7 D: J: }7 E1. 有限差分時(shí)域(FDTD)方法
FDTD同時(shí)離散化空間和時(shí)間，使用中心差分近似麥克斯韋方程中的空間和時(shí)間導(dǎo)數(shù)�？梢酝ㄟ^在空間和時(shí)間中使用脈沖函數(shù)從MWR框架推導(dǎo)出來。

2. 傳輸線矩陣(TLM)方法
TLM使用與傳輸線的類比來模擬波傳播。將空間離散化為傳輸線段網(wǎng)絡(luò)，通過跟蹤在這個(gè)網(wǎng)絡(luò)中傳播的電壓脈沖來模擬波傳播。
* v% u+ w" g6 Z, }: J3 j* m
& d" A* Q4 p( P0 w7 D8 f) t
圖6：(a) 2D和(b) 3D傳輸線矩陣(TLM)模型的圖示。
" X! z' Y" J/ S$ o/ h- }! X- k
; L7 z! o' J" R) R5 A3. 時(shí)域有限元法(TD-FEM)
) j: }0 t* G' M  F# V- FTD-FEM結(jié)合了FEM的空間離散化和時(shí)間步進(jìn)方案來求解時(shí)變麥克斯韋方程。

0 W! o9 C4 ?2 T: w4. 時(shí)域積分方程(TDIE)方法
這些方法求解積分方程的時(shí)域版本，通常使用時(shí)間步進(jìn)(MOT)方案在離散時(shí)間步驟中推進(jìn)解。

+ k  ^, e' h0 v  Z! q" }- ^5. 時(shí)域無網(wǎng)格方法
4 o0 `8 m* O1 _; @無網(wǎng)格方法也可以擴(kuò)展到時(shí)域問題，在節(jié)點(diǎn)放置上提供靈活性，無需結(jié)構(gòu)化網(wǎng)格。
, o- q- u, n: y9 O
統(tǒng)一視角和關(guān)系
4 [: J, m! p/ y4 j通過MWR的視角來看待所有這些方法，我們可以理解它們的相似性和差異：
8 s' D2 y) q$ I# K# v

基函數(shù)和權(quán)重函數(shù)的選擇在很大程度上決定了每種方法的特性。

頻域和時(shí)域方法通常密切相關(guān)，時(shí)域方法本質(zhì)上是在每個(gè)時(shí)間步長求解一系列頻域問題。

許多方法可以被視為更一般方法的特殊情況。例如，F(xiàn)EM和有限差分方法可以通過特定的節(jié)點(diǎn)排列和基函數(shù)推導(dǎo)為無網(wǎng)格方法的特殊情況。



圖7：圖示展示了基于節(jié)點(diǎn)的無網(wǎng)格方法如何通過特定的節(jié)點(diǎn)排列演變成有限元方法（中）和有限差分方法（下）。
+ T  [4 j5 A' M
數(shù)值色散和誤差分析
任何CEM技術(shù)的一個(gè)關(guān)鍵方面是理解其準(zhǔn)確性和限制。一個(gè)常見的問題是數(shù)值色散，其中模擬的波傳播特性與真實(shí)物理行為不同。這可以通過檢查方法在譜域中的色散關(guān)系來分析。

例如，F(xiàn)DTD方法具有以下數(shù)值色散關(guān)系：
+ h, D3 W2 u8 D% C, r9 t, D
[sin(kx Δx/2)/Δx]^2 + [sin(ky Δy/2)/Δy]^2 + [sin(kz Δz/2)/Δz]^2 = [sin(ωΔt/2)/(cΔt)]^2
$ k& |( F2 c' t" l
; [# f  ~1 V: `1 J; a其中kx、ky、kz是波數(shù)，Δx、Δy、Δz是空間離散化步長，Δt是時(shí)間步長，c是光速。

隨著離散化變得更細(xì)，這個(gè)關(guān)系接近連續(xù)電磁學(xué)的理想球面色散關(guān)系，但對于較粗的網(wǎng)格會偏離。
" t3 S+ F4 y$ u5 G* N1 ^
結(jié)論
本文提出的計(jì)算電磁學(xué)統(tǒng)一視角，以加權(quán)殘差法為中心，為理解和開發(fā)數(shù)值技術(shù)提供了強(qiáng)大的框架。通過認(rèn)識各種方法的共同數(shù)學(xué)基礎(chǔ)，研究人員和工程師可以：

根據(jù)給定問題的特性和要求選擇最合適的方法。

開發(fā)結(jié)合不同方法優(yōu)點(diǎn)的混合技術(shù)。

分析和改進(jìn)數(shù)值算法的準(zhǔn)確性、穩(wěn)定性和效率。

探索新的公式和基函數(shù)來解決具有挑戰(zhàn)性的電磁問題。
[/ol]
$ a: E6 H, b+ j/ p8 l# ]隨著計(jì)算電磁學(xué)領(lǐng)域的不斷發(fā)展，這種統(tǒng)一的視角對于推動電磁仿真和設(shè)計(jì)的可能性邊界將是很重要的。未來的研究方向可能包括：

開發(fā)針對特定問題類型的更高效基函數(shù)。

探索機(jī)器學(xué)習(xí)技術(shù)來增強(qiáng)傳統(tǒng)CEM方法。

推進(jìn)將電磁學(xué)與其他物理現(xiàn)象耦合的多物理場仿真。

改進(jìn)并行計(jì)算策略以處理更大、更復(fù)雜的系統(tǒng)。
4 \9 a, I8 J7 J- u& i, F' E
通過理解統(tǒng)一各種CEM技術(shù)的基本原理，研究人員和從業(yè)者可以繼續(xù)創(chuàng)新并擴(kuò)展電磁建模和仿真的能力。
* w/ |$ i& q% e: E, `3 K- ?) j6 t! m
參考文獻(xiàn)
& @+ p. s/ V) S- e( t[1] Z. Chen, C. Wang and W. J. R. Hoefer, "A Unified View of Computational Electromagnetics," in IEEE Transactions on Microwave Theory and Techniques, vol. 70, no. 2, pp. 955-969, Feb. 2022, doi: 10.1109/TMTT.2021.3138911.
: U  V9 }- n4 x- g$ ]1 D  ^, W
# V4 g& [! G, ^4 b6 G& G3 `- END -
; y6 D) e/ Q8 w4 E) N) ?
' n% i) R! E( L* `$ n% ~. b
9 x. n. Z4 L6 m% G: J軟件申請我們歡迎化合物/硅基光電子芯片的研究人員和工程師申請?bào)w驗(yàn)免費(fèi)版PIC Studio軟件。無論是研究還是商業(yè)應(yīng)用，PIC Studio都可提升您的工作效能。
0 t/ u+ x. P) P: r  F點(diǎn)擊左下角"閱讀原文"馬上申請
# c! \4 X3 Z$ s
/ y& @/ M! b& d% @) g" J2 r歡迎轉(zhuǎn)載
. U$ c9 u2 a1 `5 t
轉(zhuǎn)載請注明出處，請勿修改內(nèi)容和刪除作者信息！
9 c6 A. ^% {0 s
) @/ g# H- {. |, F

: Y/ D1 ?& X1 g
0 M% J' a. R! N! a) v# r0 x
關(guān)注我們

$ P) t: j0 i# y' G% S" F2 q / |" ^9 f5 d% J  u- |

$ t' D( k0 \$ j& r' i

                     


3 _: v8 Y* u8 Q6 w* c7 g3 ~* k; y
1 \% B+ V& ?- R關(guān)于我們：
深圳逍遙科技有限公司（Latitude Design Automation Inc.）是一家專注于半導(dǎo)體芯片設(shè)計(jì)自動化（EDA）的高科技軟件公司。我們自主開發(fā)特色工藝芯片設(shè)計(jì)和仿真軟件，提供成熟的設(shè)計(jì)解決方案如PIC Studio、MEMS Studio和Meta Studio，分別針對光電芯片、微機(jī)電系統(tǒng)、超透鏡的設(shè)計(jì)與仿真。我們提供特色工藝的半導(dǎo)體芯片集成電路版圖、IP和PDK工程服務(wù)，廣泛服務(wù)于光通訊、光計(jì)算、光量子通信和微納光子器件領(lǐng)域的頭部客戶。逍遙科技與國內(nèi)外晶圓代工廠及硅光/MEMS中試線合作，推動特色工藝半導(dǎo)體產(chǎn)業(yè)鏈發(fā)展，致力于為客戶提供前沿技術(shù)與服務(wù)。

http://www.latitudeda.com/
（點(diǎn)擊上方名片關(guān)注我們，發(fā)現(xiàn)更多精彩內(nèi)容）