可編程光電子技術的信息理論極限

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引言
可編程光電子線路是量子信息處理、機器學習加速和光信號處理等多種應用的關鍵技術。隨著這些線路不斷擴大以滿足更復雜任務的需求，面臨著與其基本構建模塊——相移器——相關的獨特挑戰(zhàn)。與電子線路中的晶體管不同，相移器無法在不影響性能的情況下任意縮小。本文探討了優(yōu)化多端口干涉儀以實現(xiàn)相位高效可編程光電子技術的最新進展，推動這些系統(tǒng)向信息理論極限邁進[1]。

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9 k& D( H" @4 ~  h) e) Y& P理解挑戰(zhàn)
, J& X( b5 i. j1 a2 m9 s# e$ B" |傳統(tǒng)的光電子線路擴展方法主要集中在器件級改進上，如減少馬赫-曾德爾干涉儀（MZI）和相移器的功耗和占用面積。然而，最新研究表明，系統(tǒng)和架構級的選擇對整體性能和可擴展性同樣有重大影響。
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- |; b9 e$ F9 P1 F+ i2 p, ~( U主要挑戰(zhàn)在于相移器設計中固有的權衡。例如，熱光相移器通常需要約20 mW的功率才能實現(xiàn)π相移。降低功耗往往會以降低速度或增加尺寸和插入損耗為代價。相變材料（PCM）和金屬氧化物半導體電容器（MOSCAP）等替代技術雖然功耗低，但會引入與相位相關的光學損耗。

! H# z$ y% r1 j3 V% ?2 V6 c& S8 J這些權衡因素對可編程光電子線路的擴展構成了實際限制，導致現(xiàn)實實現(xiàn)的線路比光波長設定的理論最小值大10-100倍。
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追求相位效率
為應對這些挑戰(zhàn)，研究人員開始探索"以少勝多"的方法，創(chuàng)建能夠最小化大型線路中每個元件平均相移的架構。這種方法旨在繞過實現(xiàn)大相移相關的權衡，同時保持線路的功能性和可編程性。
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6 ~# b: e" _7 W! J; a信息理論界限
在深入探討具體架構之前，了解多端口干涉儀中相位效率的基本限制很重要。研究人員利用信息理論推導出了光電子線路通用性所需的平均相移下限。


圖1：多端口干涉儀實現(xiàn)的映射 f : ψ → U 的可視化，其中單位體積 dVψ 映射到由梯度向量 ?ψm f 張成的平行六面體，體積為 dVU = |?(U)/?(ψ)|dVψ。

. x2 w+ h; s3 N這個界限隨著干涉儀輸入和輸出模式數(shù) N 的增加而按 O(1/√N) 縮放。這個縮放定律為優(yōu)化線路架構提供了目標，并為評估不同設計的效率設定了基準。

# ~1 S0 Y" |5 j1 e9 HMZI網格：起點
構建通用多端口干涉儀的傳統(tǒng)方法使用馬赫-曾德爾干涉儀（MZI）網格。雖然有效，但這種架構在相位效率方面未能達到理論界限。
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圖2：(a) 8 × 8 Clements網格，由可調交叉點的矩形陣列組成（相位屏幕為清晰起見省略）。(b) MZI交叉點及其由2 × 2矩陣T（方程（10））表示的分裂比s。(c) 對于Haar均勻分布的酉矩陣，等級為1、3、5和7的MZI的P(s)，顯示分布如何隨著向網格中心移動而集中。

( k# n7 f% ?% N) _# g在MZI網格中，隨著線路規(guī)模的增加，平均相移保持恒定（O(1)），與信息理論界限預測的O(1/√N)縮放顯著偏離。這種低效限制了基于MZI的線路隨規(guī)模增大而擴展的能力。

3-MZI：邁向效率的一步
為解決標準MZI網格的局限性，研究人員提出了一種稱為3-MZI的替代設計。這種架構由標準MZI加上一個包圍外部相移器的額外50:50分束器組成。

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圖3：(a) 標準MZI交叉點，通過極坐標將(θ, φ)映射到s。繪制了N = 16網格的概率P(s)，顯示了靠近s = 0的濃度。(b) P(θ, φ)隨網格大小變化的概率，顯示θ受限但φ不受限。(c) 3-MZI交叉點，在s = 0附近的映射在局部上是笛卡爾的，并且限制了θ和φ。(d) 利用制造過程中引入的相位偏移將分布P(θ, φ)集中在零附近。

& E; P1 {9 z+ h3-MZI設計提供了幾個優(yōu)勢：
6 o( M+ B$ R# B- O4 y/ o4 O3 n1. 改進的縮放：3-MZI網格中的平均相移按O(1/√N)縮放，與理論界限相匹配。
2. 受限分布：內部(θ)和外部(φ)相移都緊密地限制在其交叉狀態(tài)值附近。
7 F9 X' M; D3 n- S3. 制造優(yōu)化：通過在制造過程中應用物理相位偏移，可調相移器只需實現(xiàn)小的殘余項。

+ c! c& i6 E. O7 x5 H4 e$ i! _數(shù)值模擬和理論分析表明，3-MZI架構接近信息理論界限的2-3倍以內，相比標準MZI網格有顯著改進。


  W$ S  ^5 M# L3 r7 d圖4：(a) 大小為N = 4-1024的網格可視化，編程實現(xiàn)特定Haar均勻采樣矩陣，其中MZI根據(jù)平均相移|ψ| ≡ 1/2(|θ| + |φ|)著色。(b) 相移矩作為網格大小的函數(shù)圖（左）和每種矩類型的MZI/3-MZI比率（右），說明了后者網格類型的優(yōu)勢。(c) MZI和3-MZI網格的每自由度熵，與信息理論界限比較。繪制了通用和推拉（PP）界限。(d) 相移矩與界限的比較。

5 ^: d2 k0 O# z& ~; ~對于實際網格大�。∟ ≈ 256），3-MZI設計在平均相移方面比標準MZI網格減少了10-20倍，具體取決于所選擇的優(yōu)化指標。


超越酉矩陣：高斯分布
圍繞多端口干涉儀的大部分理論都集中在酉矩陣上，但許多實際應用涉及非酉變換。研究人員已將分析擴展到涵蓋高斯分布的目標矩陣，這在信息處理任務中很常見。
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對于這些非酉應用，基于交叉架構的設計，如菱形和PILOSS（路徑無關損耗）設計顯示出了前景。當與3-MZI交叉單元結合時，這些架構可以對小條目的高斯分布矩陣達到信息理論界限。
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' J% N6 M, d6 m! j圖5：具有高斯隨機目標矩陣的非酉網格。(a) 菱形和PILOSS網格的相移Δθ, Δφ，目標矩陣隨機采樣，σ/σmax = 0.8。(b) 相移分布作為網格大小的函數(shù)，顯示與?ψ? ∝ 1/√N一致的方差減小。(c) L2平均相移作為σ/σmax的函數(shù)，與（推拉）信息理論界限?ψ?2 ≥ 2σ比較。

這些結果表明，相位高效設計不限于酉變換，可以擴展到與實際應用相關的更廣泛的矩陣操作類別。

6 K% [( b  s1 d" @( W實際意義：L∞約束下的神經網絡訓練
, B: w, c2 ?8 |: q& K平均相移是整體效率的重要指標，但許多實際實現(xiàn)面臨著每個元件可達到的最大相移的"硬"上限。這種約束在光學深度學習應用中尤為相關。
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0 W/ x$ X6 |/ ]為探究這些約束的影響，研究人員調查了L∞約束下光學神經網絡的訓練，其中最大相移被限制在一小部分弧度內。

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圖6：相位約束ONN訓練。(a) ONN架構。FFT和裁剪是預處理步驟，而N × N可訓練層U1和U2用Clements網格實現(xiàn)。(b) MNIST、FMNIST和KMNIST分類準確率作為層大小N和最大相位||ψ||∞的函數(shù)。(c) U1的矩陣范數(shù)中非對角元素貢獻的分數(shù)，作為||ψ||∞的函數(shù)。MNIST，N = 64；U2的曲線類似。(d) 來自(c)的代表性矩陣，顯示當||ψ||∞較小時，反對角線周圍的聚集增加。

& A9 `4 @& p. P1 u* Y0 X0 H7 ~令人驚訝的是，這些研究表明，即使最大相移被限制在一小部分弧度內，光學神經網絡也能訓練到達到與無約束模型相當?shù)臏蚀_度。這一發(fā)現(xiàn)表明，L∞約束訓練可能對使基于網格的光學神經網絡能夠擴展很重要，特別是在面臨嚴重VπL權衡的快速平臺（如LiNbO3或壓電光機械系統(tǒng)）中。
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/ c3 h: Z/ g+ B4 J* [未來方向和開放問題
, I: ]. x6 n8 g/ L  w. X$ a隨著可編程光電子技術領域的不斷發(fā)展，出現(xiàn)了幾個開放問題和未來研究方向：
/ {4 K3 I4 I2 t' v1. 過完備基：將信息理論分析擴展到相移器數(shù)量多于嚴格必要的系統(tǒng)。
2. 替代架構：探索非MZI基礎設計（如MPLC、FFT和其他新型方法）的相移統(tǒng)計。
! h" c. A6 d* j/ w" @3. 連續(xù)系統(tǒng)：研究多模波導的使用，以及它們如何突破集中元件相移器的假設。
4. 硬件缺陷：研究相位高效設計與現(xiàn)實、不完美硬件的錯誤糾正策略之間的相互作用。

% U6 n, V2 R$ b  s結論
追求相位高效的可編程光電子技術代表了擴展光信息處理系統(tǒng)方法的重大轉變。通過將相移視為需要節(jié)約的資源，研究人員發(fā)現(xiàn)了新的線路設計范式，有望推動大規(guī)模光電子系統(tǒng)的可能性邊界。

0 x* }8 c2 d  A. @3 L特別是3-MZI架構已成為通用多端口干涉儀的近乎最優(yōu)解決方案，與傳統(tǒng)設計相比，在相位效率方面提供了數(shù)量級的改進。當與用于非酉操作的基于交叉架構的布局結合時，這些進展為能夠處理日益復雜的量子計算、機器學習和信號處理任務的新一代光電子線路奠定了基礎。
5 X/ [" g3 W7 D9 g; e9 {. g
6 s' C& r! |% G" S. k' q6 R- Y隨著該領域不斷發(fā)展，理論界限、架構創(chuàng)新和實際約束之間的相互作用將推動向真正大規(guī)模可編程光電子技術的進一步進展。通過推動相位效率的極限，研究人員正在為光信息處理開辟新的可能性，有朝一日可能在功率和能力方面與電子對應物相媲美或超越。
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參考文獻
[1] R. Hamerly, J. R. Basani, A. Sludds, S. K. Vadlamani, and D. Englund, "Towards the Information-Theoretic Limit of Programmable Photonics," arXiv:2408.09673v1 [physics.optics], Aug. 2024.
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